DM n°7 : Un petit exercice qui n'a rien à voir...

Voilàa je lance le premier topic de maths, qui rique à mon avis d'être actif au cours du week-end... SVP postez seulement des sujets sur le boulot dans les sections de chaque matière ! Rendez-vous dans Détente pour le reste ! Merci !

Bon il a l'air assez gentil ce DM ! Jai terminé le premier recto à l'instant ! Mais un petit truc m'embête ou plutôt me laisse perplexe :
Pour son "Petit exercice qui n'a rien à voir", pensez-vous qu'on peut dire que:

- toute partie de R non vide et majorée admet une borne sup'
- or Q est une partie de R
- donc toute partie non vide et majorée de Q est une aprtie non vide et majorée de R et admet donc une borne sup'.

J'ai fait ça mais aussi une truc un peu plus rentre dedans en faisant des démos qui ressemblent à celles du cours...

Vous pensez que la première solution suffit ? Parce que au recopiage c'est pas la même quantité, pis j'ai aps tro envie de faire de l'inutile

Moi je dirais vraiment que oui tout simplement parce que Q est alors non vide est majorée puisqu'inclu dans une partie non vide et majoré et dense dans celle ci...je pense que ca suffit effectivement

ha? depuis quand Q est majorée?

Relisez l'énoncé, toute partie non vide de Q est majorée par un élément de Q, donc la prop est vrai !

J'ai jamais dit que Q était majoré, mais qu'une partie non vide et majorée de Q avait une borne sup! Et ton post ne répond pas a ma question

Nan, je parlais pas de toi mais de Damned !
Ce que tu as marqué est juste et suffisant !

dam's a écrit:

Nan, je parlais pas de toi mais de Damned !
Ce que tu as marqué est juste et suffisant !

je te rappelle que tu ne détiens pas la vérité absolue...

et sinon regis à mon avis le plus simple est le mieux, or j'ai fait en gros la meme chose que toi sans grosse démo énorme... ça me parait leger mais ça tient la route en gros ^^ donc voilà, plutot que de se lancer dans des trucs de ouf avec des risques d'erreurs et des probleme de rédaction,
garder le fait que Q est inclu ds R et que tte partie nn vide et majoré de R a une borne sup donc toute partie nn vide et majorée de Q en a une est pas mal puisque simple et facile à rédiger ^^

vous trouver kil est facile le DM perso je vien de commencer et sa me saoul deja lol

J'annonce, BIM
Tout d'abord epsilon compris entre 0 et 1 c possible mais c'est plus long a trouver. Si tu trouves un epsilon compris entre 0 et +inf ca marche aussi (héhé) en fait tu te rends conte a partir de celui ci ke tu peux toujours trouver le epsilon demandé dans l'enoncé et alors tu mets ca en remark. Car si epsilon >0 existe il en existe une infinité... et donc en particulier sur [0;1]

Bref sinon quelques petites remarques: Q NE VERIFIE PAS LA PROPRIET2 DE LA BORNE SUP!!!!!!!!!!!!
de maniere toute bete prendre comme intervalle A=Q inter [0;rac(3)]
A est non vide (1€A) et majoré. Pourtaant on montre tres facilement que A n'admet pas de borne sup. Imaginons qu'elle existe et appelons la x
alors x est le plus petit majorant de A. C'est donc le rationnel le plus proche de rac(3).
cas 1: x<rac(3)
on prend alor un rationnel de [x;rac(3)] par densité de Q dans R et c'est gagné
cas2: rac(3)<x
on prend un rationnel de [rac(3);x]

et la bim

sinon dans la partie 2 question 1 pour etudier la convergence de Un j'ai un gros doute j'ai été obligé d'utiliser un DL ==> (1+e)^n=1+ne
Mais il doit y avoir une autre methode... Si qqn a trouvé... Et sinon le reste du DM est assez drole. Et pour la question I)3.a pense a utiliser la continuité de la fonction carré==> l'image d'un intervalle est un intervalle

Oui David mais le problème est que tu prend racine de 3 qui n'appartient pas à Q, or on travaille sur Q uniquement et il n'est pas question d'utiliser un irrationnel... Pour moi, une partie de Q est forcément délimité par des rationnels...
Bon et sinon, je propose qu'on crée un nouveau topic piur chaque question sinon on va pas s'y retrouver. Mettez à chaque fois le titre "DM n°X - Ex Y -qu Z" Merci !

Mais non salopard de copain des bois. Tu prends l'ensemble des rationnels de [0;rac(3)]
C'est donc bien une partie de Q
Attention, ce que j'ai appelé A précédemment est Qinter[0;rac(3)] et pas [0;rac(3)] auquel cas Regis aurait eu raison.
Je concluerai par une phrase que je regrette d'avoir si souvent a répéter a ton encontre cher regis. Le monde se divise en 2, les touristes et les puristes...

moi chuis d'accord avec david

prenez la suite u(n+1) = 1/2(un+(2/un)) avec u0=2
tout ces termes sont rationnels
mais elle converge vers racine de 2 et est strictement decroissante, donc inf de un = racine de 2: un ensemble de rationel borné par un irrationnel...CQFD

y'en a des centaines des comme ca... D'ailleurs y'a un gentil theoreme qui dit que quelquesoit l'irrationnel choisi on peut toujours mettre en evidence une suite de rationnel qui converge vers lui.
En fait opur etre plus precis rappelez vous en TS quand on a definit l'exponentielle (et meme cette année) on a justifié son existence sur N facilement (tou le monde sait élever un nombre a la puissance N) sur Z grace a l'inverse (a^-n=1/a^n) sur Q grace a la racine enieme (a^(p/q)=racine q-ieme(a^p)) mais pourtant on utilise l'exponentielle sur R...
Alors qu'on ne l'a definit proprement que sur Q. Et bien c'est tout simplement parce-que tout irrationnel est la limite d'une suite de rationnel...

e=somme(inf) 1/k!
pi²/4=somme(inf) 1/k²
(...)

Moi je pense que j'ai plus simple, il suffit de prendre l'intervalle [0,1[inter Q, il ne vérifie pas la propriété de la borne sup.
Le défaut de vos exemples, c'est que l'intervalle n'est pas toujours sinon jamais une partie de Q, R\Q étant dense dans R...

Mais non Mzrtin ! 1 est la borne sup de ton intervalle et 1 appartient à Q donc dans ce cas ca marche !

j'aurai envie de dire que régis à raison... et que martin dit de la merde...

En fait il suffit de montrer qu'il existe un ensemble de rationnel ayant un irrationnel comme borne et pif paf pouf c'est fini ?

Ah oui, mea culpa, borne sup différent de plus grand élément...

Oui donc effectivement, il faut prendre un intervalle du genre :[0,e]inter Q...
David a raison, ya pas plus simple.

Martin tu es un grand gueux... Q n'est pas formé d'intervalles. C'est opur ca qu'une partie de Q pris dans un intervalle de R n'admet m^éme pas de plus grand élément, ce qui nous permet de conclure...

Encore une fois preuve est faite qu'il y a une difference entre les puristes et les touristes

Rolala oui pardon ma langue a fourché,enfin mes doigts, on prend la partie [1,e]inter Q

Franchement le coup de la suite reccurente ca marche trop bien ( voir pages precedentes) on peut aussi definir autre chose: e est la limite de la somme des termes de la suite un=1/n! qui ne comporte que des rationnels

C'est juste ce que j'ai dit plus haut... pareil. La somme des inverses des puissances d'un nombre ou l'indice sommé est le nombre ou les puissance converge vers des trucs chelous avec des nombres de Bernouilli et des pi partout...